by: Roger Godement
Les deux premiers volumes sont consacrés aux fonctions dans R ou C, y compris la théorie élémentaire des séries et intégrales de Fourier et une partie de celle des fonctions holomorphes.
L'exposé, non strictement linéaire, combine indications historiques et raisonnements rigoureux. Il montre la diversité des voies d'accès aux principaux résultats afin de familiariser le lecteur avec les méthodes de raisonnement et idées fondamentales plutôt qu'avec les techniques de calcul, point de vue utile aussi aux personnes travaillant seules. Les volumes III et IV traitent principalement des fonctions analytiques (théorie de Cauchy, théorie analytique des nombres et fonctions modulaires), ainsi que du calcul différentiel sur les variétés, avec un exposé de l'intégrale de Lebesgue, en suivant d'assez près le célèbre cours donné longtemps par l'auteur à l'Université Paris VII.
On reconnaîtra dans ce nouvel ouvrage le style inimitable de l'auteur, et pas seulement par son refus de l'écriture condensée en usage dans de nombreux manuels.
Errata :: 2
Table des matières du volume II :: 8
V - Calcul Différentiel et Intégral :: 12
§1. L'intégrale de Riemann :: 12
1 - Intégrales supérieure et inférieure d'une fonction bornée :: 12
2 - Propriétés élémentaires des intégrales :: 16
3 - Sommes de Riemann. La notation intégrale :: 24
4 - Limites uniformes de fonctions intégrables :: 26
5 - Applications aux séries de Fourier et aux séries entières :: 30
§2. Conditions d'intégrabilité :: 36
6 - Le théorème de Borel-Lebesgue :: 36
7 - Intégrabilité des fonctions réglées ou continues :: 39
8 - La continuité uniforme et ses conséquences :: 42
9 - Dérivation et intégration sous le signe de l'intégrale :: 46
10 - Fonctions semi-continues :: 51
11 - Intégration des fonctions semi-continues :: 59
§3. Le "Théorème Fondamental" (TF) :: 63
12 - Le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral :: 63
13 - Extension du théorème fondamental aux fonctions réglées :: 71
14 - Fonctions convexes; inégalités de Holder et Minkowski :: 77
§4. Intégration par parties :: 85
15 - Intégration par parties :: 85
16 - La série de Fourier des signaux carrés :: 88
17 - La formule de Wallis :: 91
§5. La formule de Taylor :: 94
18 - La formule de Taylor :: 94
§6. La formule du changement de variable :: 103
19 - Changement de variable dans une intégrale :: 103
20 - Intégration des fractions rationnelles :: 107
§7. Intégrales de Riemann généralisées :: 114
21 - Intégrales convergentes : exemples et définitions :: 114
22 - Intégrales absolument convergentes :: 116
23 - Passage à la limite sous le signe de l'intégrale :: 121
24 - Séries et intégrales :: 127
25 - Dérivation sous le signe de l'intégrale :: 130
26 - Intégration sous le signe de l'intégrale :: 136
§8. Théorèmes d'approximation :: 141
27 - Comment rendre C°° une fonction qui ne l'est pas :: 141
28 - Approximation par des polynômes :: 147
29 - Fonctions ayant des dérivées données en un point :: 150
§9. Mesures de Radon dans R ou C :: 154
30 - Mesures de Radon sur un compact :: 154
31 - Mesures sur un ensemble localement compact :: 164
32 - La construction de Stieltjes :: 171
33 - Application aux intégrales doubles :: 179
§10. Les distributions de Schwartz :: 182
34 - Définition et exemples :: 182
35 - Dérivées d'une distribution :: 187
VI - Calculs Asymptotiques :: 192
§1. Développements limités :: 192
1 - Relations de comparaison :: 192
2 - Règles de calcul :: 194
3 - Développements limités :: 195
4 - Développement limité d'un quotient :: 197
5 - Le critère de convergence de Gauss :: 199
6 - La série hypergéométrique :: 201
7 - Etude asymptotique de l'équation xe^x=t :: 203
8 - Asymptotique des racines de sin x.log x=1 :: 205
9 - L'équation de Kepler :: 207
10 - Asymptotique des fonctions de Bessel :: 210
§2. Formules sommatoires :: 222
11 - Cavalieri et les sommes 1^k + 2^k + ... + n^k :: 222
12 - Jakob Bernoulli :: 224
13 - La série entière de cot z :: 229
14 - Euler et la série entière de arctan x :: 232
15 - Euler, Maclaurin et leur formule sommatoire :: 236
16 - La formule d'Euler-Maclaurin avec reste :: 237
17 - Calcul d'une intégrale par la méthode des trapèzes :: 239
18 - La somme 1 + 1/2 + ... + 1/n, le produit infini de la fonction gamma et la formule de Stirling :: 240
19 - Prolongement analytique de la fonction zêta :: 245
VII - Analyse Harmonique et Fonctions Holomorphes :: 248
1 - La formule intégrale de Cauchy pour un cercle :: 248
§1. L'analyse sur le cercle unité :: 252
2 - Fonctions et mesures sur le cercle unité :: 252
3 - Coefficients de Fourier :: 259
4 - Produit de convolution dans T :: 263
5 - Suites de Dirac dans T :: 268
§2. Théorèmes élémentaires sur les séries de Fourier :: 272
6 - Séries de Fourier absolument convergentes :: 272
7 - Calculs hilbertiens :: 273
8 - L'égalité de Parseval-Bessel :: 275
9 - Séries de Fourier des fonctions dérivables :: 282
10 - Distributions sur T :: 285
§3. La méthode de Dirichlet :: 293
11 - Le théorème de Dirichlet :: 293
12 - Le théorème de Fejér :: 299
13 - Séries de Fourier uniformément convergentes :: 301
§4. Fonctions analytiques et holomorphes :: 305
14 - Analyticité des fonctions holomorphes :: 306
15 - Le principe du maximum :: 308
16 - Fonctions analytiques dans une couronne. Points singuliers Fonctions méromorphes :: 311
17 - Fonctions holomorphes périodiques :: 317
18 - Les théorèmes de Liouville et de d'Alembert-Gauss :: 319
19 - Limites de fonctions holomorphes :: 328
20 - Produits infinis de fonctions holomorphes :: 331
§5. Fonctions harmoniques et séries de Fourier :: 339
21 - Fonctions analytiques définies par une intégrale de Cauchy :: 339
22 - La fonction de Poisson :: 341
23 - Applications aux séries de Fourier :: 343
24 - Fonctions harmoniques :: 346
25 - Limites de fonctions harmoniques :: 350
26 - Le problème de Dirichlet pour un disque :: 353
§6. Des séries aux intégrales de Fourier :: 356
27 - La formule sommatoire de Poisson :: 356
28 - La fonction thêta de Jacobi :: 361
29 - Formules fondamentales de la transformation de Fourier :: 365
30 - Extensions de la formule d'inversion :: 368
31 - Transformation de Fourier et dérivation :: 373
32 - Distributions tempérées :: 378
Postface. Science, technologie, armement :: 388
Index :: 478
Table des matières du volume I :: 482
type: djvu
language: fr
size: 3.86 MB
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L'exposé, non strictement linéaire, combine indications historiques et raisonnements rigoureux. Il montre la diversité des voies d'accès aux principaux résultats afin de familiariser le lecteur avec les méthodes de raisonnement et idées fondamentales plutôt qu'avec les techniques de calcul, point de vue utile aussi aux personnes travaillant seules. Les volumes III et IV traitent principalement des fonctions analytiques (théorie de Cauchy, théorie analytique des nombres et fonctions modulaires), ainsi que du calcul différentiel sur les variétés, avec un exposé de l'intégrale de Lebesgue, en suivant d'assez près le célèbre cours donné longtemps par l'auteur à l'Université Paris VII.
On reconnaîtra dans ce nouvel ouvrage le style inimitable de l'auteur, et pas seulement par son refus de l'écriture condensée en usage dans de nombreux manuels.
Errata :: 2
Table des matières du volume II :: 8
V - Calcul Différentiel et Intégral :: 12
§1. L'intégrale de Riemann :: 12
1 - Intégrales supérieure et inférieure d'une fonction bornée :: 12
2 - Propriétés élémentaires des intégrales :: 16
3 - Sommes de Riemann. La notation intégrale :: 24
4 - Limites uniformes de fonctions intégrables :: 26
5 - Applications aux séries de Fourier et aux séries entières :: 30
§2. Conditions d'intégrabilité :: 36
6 - Le théorème de Borel-Lebesgue :: 36
7 - Intégrabilité des fonctions réglées ou continues :: 39
8 - La continuité uniforme et ses conséquences :: 42
9 - Dérivation et intégration sous le signe de l'intégrale :: 46
10 - Fonctions semi-continues :: 51
11 - Intégration des fonctions semi-continues :: 59
§3. Le "Théorème Fondamental" (TF) :: 63
12 - Le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral :: 63
13 - Extension du théorème fondamental aux fonctions réglées :: 71
14 - Fonctions convexes; inégalités de Holder et Minkowski :: 77
§4. Intégration par parties :: 85
15 - Intégration par parties :: 85
16 - La série de Fourier des signaux carrés :: 88
17 - La formule de Wallis :: 91
§5. La formule de Taylor :: 94
18 - La formule de Taylor :: 94
§6. La formule du changement de variable :: 103
19 - Changement de variable dans une intégrale :: 103
20 - Intégration des fractions rationnelles :: 107
§7. Intégrales de Riemann généralisées :: 114
21 - Intégrales convergentes : exemples et définitions :: 114
22 - Intégrales absolument convergentes :: 116
23 - Passage à la limite sous le signe de l'intégrale :: 121
24 - Séries et intégrales :: 127
25 - Dérivation sous le signe de l'intégrale :: 130
26 - Intégration sous le signe de l'intégrale :: 136
§8. Théorèmes d'approximation :: 141
27 - Comment rendre C°° une fonction qui ne l'est pas :: 141
28 - Approximation par des polynômes :: 147
29 - Fonctions ayant des dérivées données en un point :: 150
§9. Mesures de Radon dans R ou C :: 154
30 - Mesures de Radon sur un compact :: 154
31 - Mesures sur un ensemble localement compact :: 164
32 - La construction de Stieltjes :: 171
33 - Application aux intégrales doubles :: 179
§10. Les distributions de Schwartz :: 182
34 - Définition et exemples :: 182
35 - Dérivées d'une distribution :: 187
VI - Calculs Asymptotiques :: 192
§1. Développements limités :: 192
1 - Relations de comparaison :: 192
2 - Règles de calcul :: 194
3 - Développements limités :: 195
4 - Développement limité d'un quotient :: 197
5 - Le critère de convergence de Gauss :: 199
6 - La série hypergéométrique :: 201
7 - Etude asymptotique de l'équation xe^x=t :: 203
8 - Asymptotique des racines de sin x.log x=1 :: 205
9 - L'équation de Kepler :: 207
10 - Asymptotique des fonctions de Bessel :: 210
§2. Formules sommatoires :: 222
11 - Cavalieri et les sommes 1^k + 2^k + ... + n^k :: 222
12 - Jakob Bernoulli :: 224
13 - La série entière de cot z :: 229
14 - Euler et la série entière de arctan x :: 232
15 - Euler, Maclaurin et leur formule sommatoire :: 236
16 - La formule d'Euler-Maclaurin avec reste :: 237
17 - Calcul d'une intégrale par la méthode des trapèzes :: 239
18 - La somme 1 + 1/2 + ... + 1/n, le produit infini de la fonction gamma et la formule de Stirling :: 240
19 - Prolongement analytique de la fonction zêta :: 245
VII - Analyse Harmonique et Fonctions Holomorphes :: 248
1 - La formule intégrale de Cauchy pour un cercle :: 248
§1. L'analyse sur le cercle unité :: 252
2 - Fonctions et mesures sur le cercle unité :: 252
3 - Coefficients de Fourier :: 259
4 - Produit de convolution dans T :: 263
5 - Suites de Dirac dans T :: 268
§2. Théorèmes élémentaires sur les séries de Fourier :: 272
6 - Séries de Fourier absolument convergentes :: 272
7 - Calculs hilbertiens :: 273
8 - L'égalité de Parseval-Bessel :: 275
9 - Séries de Fourier des fonctions dérivables :: 282
10 - Distributions sur T :: 285
§3. La méthode de Dirichlet :: 293
11 - Le théorème de Dirichlet :: 293
12 - Le théorème de Fejér :: 299
13 - Séries de Fourier uniformément convergentes :: 301
§4. Fonctions analytiques et holomorphes :: 305
14 - Analyticité des fonctions holomorphes :: 306
15 - Le principe du maximum :: 308
16 - Fonctions analytiques dans une couronne. Points singuliers Fonctions méromorphes :: 311
17 - Fonctions holomorphes périodiques :: 317
18 - Les théorèmes de Liouville et de d'Alembert-Gauss :: 319
19 - Limites de fonctions holomorphes :: 328
20 - Produits infinis de fonctions holomorphes :: 331
§5. Fonctions harmoniques et séries de Fourier :: 339
21 - Fonctions analytiques définies par une intégrale de Cauchy :: 339
22 - La fonction de Poisson :: 341
23 - Applications aux séries de Fourier :: 343
24 - Fonctions harmoniques :: 346
25 - Limites de fonctions harmoniques :: 350
26 - Le problème de Dirichlet pour un disque :: 353
§6. Des séries aux intégrales de Fourier :: 356
27 - La formule sommatoire de Poisson :: 356
28 - La fonction thêta de Jacobi :: 361
29 - Formules fondamentales de la transformation de Fourier :: 365
30 - Extensions de la formule d'inversion :: 368
31 - Transformation de Fourier et dérivation :: 373
32 - Distributions tempérées :: 378
Postface. Science, technologie, armement :: 388
Index :: 478
Table des matières du volume I :: 482
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